Ablaufplanung: Einführung in Scheduling by Florian Jaehn, Erwin Pesch

By Florian Jaehn, Erwin Pesch

Planen von Abläufen ist zentraler Bestandteil unternehmerischen Handelns in Produktion, Logistik, advertising and marketing und own oder von Anwendungen im Maschinenbau oder der Informatik. Ziel dieses Buches ist es, gängige Ablaufplanungsprobleme zu kategorisieren und für diese Lösungsansätze zu präsentieren, so dass das in der Praxis vorhandene Verbesserungspotential erkennbar wird. Die theoretischen Grundlagen werden mit einfachen Beispielen erläutert, um schnell ein Verständnis zu erzeugen. Zudem lehren diese Beispiele eine direkte erfolgreiche Bearbeitung der zahlreichen Übungsaufgaben, so dass der Leser durch Erfolgserlebnisse weiter motiviert wird.

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16 (1|| wj Cj ) INSTANZ: Gegeben eine Maschine, n Aufträge und für jeden Auftrag j eine Bearbeitungszeit pj und ein Gewicht wj . Weiter sei ein Zielwert ϕ gegeben. FRAGE: Gibt es eine Permutation der Aufträge, so dass wj Cj ≤ ϕ? Angenommen, wir erhalten die beste Permutation „zugeflüstert“ (von der NDTM). Anschließend ist es ein leichtes zu überprüfen, ob diese Permutation die Entscheidungsfrage mit Ja oder Nein beantworten lässt. 17 (Nichtdeterministische Turingmaschine) Eine nichtdeterministische Turingmaschine (NDTM) entspricht genau einer deterministischen Turingmaschine mit dem einzigen Unterschied, dass sie keine deterministische Eingabe erhält, sondern eine zufällig erzeugte.

Maschine 2 2 5 Maschine 1 1 3 4 Zeit 0 5 7 6 8 10 15 20 Kapitel 5. Modelle mit parallelen Maschinen 59 Viele Verfahren für Ablaufplanungsprobleme nutzen den Umstand aus, dass sich häufig bereits Aussagen über den optimalen Zielfunktionswert treffen lassen, ohne dass ein konkreter Ablaufplan präsentiert wird. B. beim (trivialen) Problem 1||Cmax gegeben, wo n der Zielfunktionswert auf jeden Fall den Wert j=1 pj annimmt. Wir werden jetzt das Problem P m|pmtn|Cmax betrachten, für das sich auch eine entsprechende Aussage machen lässt, die dazu genutzt werden kann, die Optimalität eines Verfahrens zu zeigen.

Sei der erste Auftrag derjenige mit der längsten Bearbeitungszeit. Dann gilt   n  pj  Cmax ≥ max p1 , .  m j=1 Beweis: Es muss gezeigt werden, dass stets Cmax ≥ p1 UND Cmax ≥ pj n j=1 m gilt. Der erste Fall ist offensichtlich und im zweiten Fall leicht durch einen Widerspruchsbeweis zu erzielen, der als Selbststudienaufgabe erbracht werden kann. Der folgende Algorithmus liefert stets einen Ablaufplan, in dem Cmax = p n max p1 , j=1 mj gilt. Entsprechend ist das Verfahren optimal. Algorithmus 6 (P m|pmtn|Cmax ): ∗ 1.

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