Analisi matematica by Soardi P. M.

By Soardi P. M.

Nel quantity vengono trattati in modo rigoroso gli argomenti che fanno parte tradizionalmente dei corsi di Analisi matematica I: numeri reali, numeri complessi, limiti, continuità, calcolo differenziale in una variabile e calcolo integrale secondo Riemann in una variabile. Le nozioni di limite e continuità sono ambientate negli spazi metrici, di cui viene presentata una trattazione elementare ma precisa. I concetti astratti sono ogni volta interpretati e discussi nel caso di funzioni reali di variabile reale. Tutti i risultati enunciati nel libro vengono dimostrati, o nel corso dell'esposizione, o nelle appendici dei vari capitoli. Tuttavia, questo libro non vuole essere un'opera puramente teorica. Vengono trattati argomenti che spesso sono demandati alle esercitazioni: il calcolo dei limiti in step with funzioni a valori reali o vettoriali, il calcolo delle derivate, i modi più comuni di integrazione. Tutti gli argomenti esposti sono corredati da numerosi esempi e determine.

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Sia f (x) = 10x . Questa funzione `e definita in R e ha valori reali. Il codominio `e R+ e f `e biunivoca da R a R+ . La sua funzione inversa `e f −1 (x) = log10 x, definita in R+ a valori in R. In modo analogo, l’inversa di ex (ove e `e il numero di Nepero) `e il logaritmo naturale log x. 2. Sia f (x) = tan x. La tangente `e definita in R ad eccezione dei punti x = π/2 + kπ, ove k ∈ Z. Non `e biunivoca, ma la sua restrizione a (−π/2, π/2) applica biunivocamente questo intervallo su R. La sua funzione inversa si chiama arcotangente di y.

Abbiamo quindi trovato un maggiorante di A minore di β, assurdo. Sia ora, per assurdo, β n < α. Sia δ tale che 0<δ< 1 nβ 1− βn α < 1 . 9. Appendice 27 βn < n 1 −δ β Ragionando come nel caso precedente, si ha > 1 , ossia α βn n < α, (1 − βδ) β `e un elemento di A maggiore di β, assurdo. Questo conclude (1 − βδ) la dimostrazione. Quindi Per le potenze a esponente reale valgono le consuete propriet`a. y x αx αy = αx+y , (αx ) = αxy , (αβ) = αx β x 0 < α < β e x > 0 implica αx < β x 0 < x < y e α > 1 implica αx < αy etc.

Cnk = dk Dunque la successione si stabilizza. Se la successione `e non crescente, la dimostrazione `e la stessa, sostituendo ai massimi i minimi. Supponiamo che la successione dei γn sia non decrescente. Se l’allineamento d0 , d1 d2 . . dn . . non ha periodo 9, il numero δ = d0 , d1 d2 . . dn . . `e l’estremo superiore della successione. Se l’allineamento `e del tipo d0 , d1 d2 . . dm 99999 . , con dm < 9, l’estremo superiore `e il numero razionale δ = d0 , d1 d2 . . (dm + 1). Se la successione `e non crescente, la costruzione del teorema mostra che l’allineamento d0 , d1 d2 .

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