Analyse continue par ondelettes French by Bruno Torrésani

By Bruno Torrésani

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Plan) temps-échelle. Remarque 1 : “Admissibilité” des ondelettes. Nous avons vu dans la section précédente qu’étant donnée une fonction fenêtre g(z) intégrable, la condition nécessaire à l’utilisation de g(z) dans le cadre de l’analyse de Gabor de L’(El) est que g(z) soit de carré intégrable. Dans le cas de l’analyse par ondelettes, la condition nécessaire pour que $(z) E L’(IR)puisse être utilisée comme ondelette analysante est qu’elle vérifie une condition d’admissibilité, comme par exemple ct/, = l$(u)12$ < 03 (ou une condition similaire).

II ASPECT TEMPS-ÉCHELLE Nous avons vu que les ondelettes sont extrêmement précises à petite échelle, car elles sont construites par dilatations d’une fonction unique ; elles sont de forme constante et de taille variable. Pour employer un poncif du genre, on dit que les ondelettes fonctionnent comme un “microscope mathématique”, dont la résolution serait fixée par le paramètre de dilatation et l’optique serait déterminée par le choix de l’ondelette. Par conséquent, l’utilisation d’ondelettes progressives est pertinente et nous utiliserons dans tous les exemples une ondelette de Morlet : en prenant wo = 2 ~ .

Supposant que G(E) est à valeurs réelles, le module ITf(b,a)lde la transformée en ondelettes se comporte comme $ J ( U W ) et est donc localement maximum pour a = w o / w . La transformée en ondelettes est donc localisée au voisinage de cette droite horizontale. 2. Sous les mêmes hypothèses, la phase de la transformée évolue linéairement avec b et reproduit en fait le comportement de la phase de la fonction analysée. 6 représentant la transformée en ondelettes d’une fréquence pure par ondclette de Morlet (module et phase).

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