Analysis of Solder Joints from Electronic Assys of

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Die erste offenbar, die zweite: (eAt eBt ). = eAt BeBt + AeAt eBt = BeAt eBt + AeAt eBt = (A + B)eAt eBt . −1 (ii) Die Funktionen t → BeAt B −1 und t → eBAB t l¨osen zum gleichen Anfang die Differentialgleichung z˙ = BAB −1 z . Die zweite offenbar, die erste: (BeAt B −1 ). = BAeAt B −1 = (BAB −1 )BeAt B −1 . Die Differentialgleichung x˙ = Ax geht durch die Transformation y = Bx in die Differentialgleichung y˙ = B x˙ = BAx = BAB −1 y , also y˙ = BAB −1 y mit Fundamentalmatrix eBAB −1 t u ¨ber. Um also die Fundamentalmatrix durch klassische Funktionen (Exponentialfunktion und Polynome) zu berechnen, werden wir die Matrix A auf geeignete Gestalt transformieren; so n¨amlich, daß die transformierte Matrix BAB −1 Jordansche Normalform hat.

Wir suchen also die Funktionen α ∈ ker(f (D)) , denn ker(f (D)) ist der L¨osungsraum der Differentialgleichung. Wo das gesagt ist, bleibt nur ein bißchen Algebra, wor¨ uber wir schon gesprochen haben. 8) Satz. Sei f (X) = (X − λ1 )n1 · . . · (X − λk )nk ein Polynom mit den verschiedenen Wurzeln λ1 , . . , λk . Dann hat die lineare Differentialgleichung f (d/dt)y = 0 das Fundamentalsystem der L¨osungen ts · eλj t , s = 0, 1, . . , nj − 1. 3) ist ker(f (D)) = k j=1 ker(D − λj )nj . Wir m¨ ussen also zeigen, daß die Funktionen ts eλt , s ≤ m − 1, ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (D − λ)m y = 0, D = d/dt, bilden.

Weil auf kanonische Weise C = R2 , z → (Re z, Im z), und daher C n = R2n ist, und weil EndC (C n ) ⊂ End R ( R2n ), eine komplex-lineare Abbildung C n → C n ist eine spezielle reell-lineare Abbildung R2n → R2n , so ist in der Tat die lineare Differentialgleichung mit komplexen Koeffizienten auch ein Spezialfall derer mit reellen Koeffizienten, wie man auch das Umgekehrte behaupten kann. Das t bleibt hier stets reell, D ein Intervall, obwohl das nicht so wesentlich ist. Eine Abbildung f : D → U ist entsprechend aus C k (D, U ), wenn sie als Abbildung D → R2n aus C k (D, R2n ) ist.

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