Angewandte Mathematik: Body and Soul: Analysis in Mehreren by Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson

By Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson

Angewandte Mathematik: physique and Soul ist ein neuer Grundkurs in der Mathematikausbildung f?r Studienanf?nger in den Naturwissenschaften, der Technik, und der Mathematik, der an der Chalmers Tekniska H?gskola in G?teborg entwickelt wurde. Er besteht aus drei B?nden sowie Computer-Software. Das Projekt ist begr?ndet in der Computerrevolution, die ihrerseits v?llig neue M?glichkeiten des wissenschaftlichen Rechnens in der Mathematik, den Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen er?ffnet hat. Es besteht aus einer Synthese der mathematischen research (Soul) mit der numerischen Berechnung (Body) sowie den Anwendungen. Die B?nde I-III geben eine moderne model der research und der linearen Algebra wieder, einschlie?lich konstruktiver numerischer Techniken und Anwendungen, zugeschnitten auf Anf?ngervorlesungen im Maschinenbau und den Naturwissenschaften. Dieser Band behandelt die research in mehreren Variablen, einschlie?lich partieller Ableitungen, mehr-dimensionaler Integrale, partieller Differentialgleichungen und finiter Elemente-Methode, zusammen mit einer Auswahl von Anwendungen f?r Systeme partieller Differentialgleichungen. Die Autoren sind f?hrende Experten im Gebiet des wissenschaftlichen Rechnens und haben schon mehrere erfolgreiche B?cher geschrieben. "[......] Oh, incidentally, I recommend fast buy of all 3 volumes!"

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Die durch f (x1 , . . , xn ) = (xn , xn−1 , . . , x1 ), definierte Funktion f : Rn → Rn ist Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten L = 1, vgl. Abb. 4. 9. Eine lineare Abbildung f : Rn → Rm , die durch eine m × nMatrix A = (aij ) mit f (x) = Ax gegeben ist, wobei x ein n-Spaltenvektor ist, ist Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten L = A . Wir haben diese 822 54. Vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen x2 f (¯ x) f (x) x ¯ x x1 Abb. 4. Darstellung der Abbildung f (x1 , x2 ) = (x2 , x1 ), die offensichtlich Lipschitz-stetig ist mit L = 1 Beobachtung bereits im Kapitel Analytische Geometrie in Rn“ gemacht.

1), die von der Zeit t unabh¨ angig ist. Da u(t) ˙ = 0, wenn u(t) von der Zeit unabh¨angig ur ist, ist u(t) = u ¯ eine station¨ are L¨ osung, falls f (¯ u) = 0 und u0 = u¯, f¨ d ¯d ) ∈ R . Die Gleichung f (¯ u) = 0 entspricht einem System u ¯ = (¯ u1 , . . , u u1 , . . , u ¯d ) = 0, i = 1, . . , d mit d Unbekannten von d Gleichungen fi (¯ u ¯1 , . . , u ¯d , wobei die fi die Komponenten von f sind. Wir untersuchten derartige Gleichungssysteme im Kapitel Vektorwertige Funktionen meh” rerer reeller Variablen“.

Vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen mit y1 ∈ [¯ x1 , x1 ]. 16) in die Form A = G(x1 , x2 ) − G(¯ x1 , x2 ), wobei G(x1 , x2 ) = f (x1 , x2 ) − f (x1 , x ¯2 ). Wenn wir wie oben den Mittelwertsatz zweimal einsetzen, erhalten wir A= ∂2f (z1 , z2 )(x1 − x ¯1 )(x2 − x ¯2 ), ∂x2 ∂x1 f¨ ur zi ∈ [¯ xi , xi ], i = 1, 2. Wenn wir annehmen, dass die zweite partielle Ableitung in x ¯ Lipschitz-stetig ist, so ergibt eine Ann¨aherung von xi an x ¯i f¨ ur i = 1, 2: ∂2f ∂2f (¯ x) = (¯ x). 3 Sind alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion f : Rn → R Lipschitz-stetig, dann ist die Reihenfolge der Ableitungen zweiter Ordnung irrelevant.

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